Chapter 2 - 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)
定义
| 单变量 | 数据集或假设函数的特征值只有一个 |
|---|---|
| 线性回归 | 求解回归问题的方程是线性方程（自变量仅为一次） |
模型建立
假设函数
以下图所示的训练集为例：
假设：
- m代表训练集中实例的数量（4个）
- x 代表特征/输入变量（大小/平方尺）
- y 代表目标变量/输出变量（价格/1000美元）
- (x, y) 代表训练集中的实例
- (x (i), y (i)) 代表第i个观察实例（如i=2时，为（1416, 232））
- h代表学习算法的函数，也称为假设（hypothesis）对于单变量线性回归问题，我们一般将其假设为：$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x$
那么问题来了，假设了$h(x)$函数后，怎么求θ组合（$\theta_{0}$和$\theta_{1}$）呢？
一般而言，思想是将现有的$x$集代入$h(x)$，比较各$y$值与$h(x)$值之间的误差（建模误差）。在不断调整$θ$组合后，找到使得总误差最小的那个θ组合。而衡量误差的方法是建立代价函数。（可能讲解的不规范，见谅￣□￣｜｜）
代价函数（平方误差函数）
$$ J\left( \theta_{0}\ ,\theta_{1}\ \right) = \frac{1}{2m}\sum_{i = 1}^{m}{\left(h_{\theta}( x^{(i)}) - y^{(i)}\right)}^{2} $$
这个函数看起来有点像方差的计算公式，但还是有区别的……
首先，它不是和平均值作比较，而是和“标准答案”作比较。再次，算出平方和后的式子乘以$\frac{1}{2m}$而非$\frac{1}{m}$。
疑问：为什么乘的是$\frac{1}{2m}$？猜想：可能是因为后面梯度下降算法计算$min(J\left( \theta_{0},\ \theta_{1}\ \right))$时，会求偏导，从而消去分母中的2。
既然有了代价函数，我们如何求他的最小值呢？
针对二元函数求最小值/极值，在高等数学里，在有约束条件和无约束条件下，分别提供了两种求解的办法，概括来讲，前者就是拉格朗日乘数法，后者则是计算二阶偏导后判断。这当然不能满足我们这门课的要求啦，下面将介绍一种很重要的新方法，梯度下降！
梯度下降
该算法的公式如下：
$repeat\ until\ convergence\ \{\\ \quad \theta_j :=\theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1)\quad(for\ j=0\ and\ j=1)\\\}$
这里引入了一个新的变量，学习率α。我们可以将这个公式类比为一次函数$y = kx+b$。
- $\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{0},\theta_{1})$即为斜率k;
- α代表一次迭代中，在$\theta_{j}$方向上应该移动多大程度;
- 而:=右边的和左边的$\theta_{j}$分别代表这次迭代前和后的$\theta_{j}$值。
对于大括号内的式子，我是这样理解的：在每次迭代中，先算出$\theta_{0},\theta_{1}$在各自方向上，应移动多大的距离才能使代价函数下降的最大，全部算完后同时更新各$\theta_{j}$的值。（若不同时，一次迭代中$\theta$集会变化多次，求出来的$\theta$也就失去了意义）
整个式子会一直重复下去，直至各$\theta_{j}$收敛到某个值，这就是我们需要的$\theta$组合（之一）！
疑问：既然梯度下降算法只能求出局部最小值，那如何求解全局最小值呢？猜想：首先，在单变量线性回归问题中，或许$J\left( \theta_{0}\ ,\theta_{1}\ \right)$的局部最小值就是全局最小值（没证明过，不确定）。但如果在其他回归问题的方程中就不一定了，这时候，正如课程中所说，我们应尝试完所有的参数组合（或尽可能多吧），求出所有局部最小值，并比较其中某个参数组合是否为全局最小值。
问题又来了，怎么判断$θ_j$是否收敛，α又该怎么取？
这个问题其实在第四章会回答。对于前者，一种$\theta_{j}$收敛的判断依据是：代价函数$J\left(\theta_{0}\ ,\theta_{1}\right)$的变化低于某一阈值。因为即便学习率α不变，随着J(θ)的减小，$\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{0},\ \theta_{1})$也会减小（在α值合适时），如下图。我们假设在第300~400次迭代的过程中，某次迭代后，$J\left(\theta_{0}\ ,\theta_{1}\right)$变化小于该阈值，就退出循环，输出$\theta$组合。
α的取值会对迭代次数和 $J\left( \theta_{0}\ ,\theta_{1}\right)$是否能收敛产生很大影响，Andrew Ng老师给的建议是尝试不同的α值：0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3等
- 求解θ组合
最后一步（算是），我们将代价函数代入梯度下降函数内。在此之前，要解决的是$\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{0},\theta_{1})$的求解。这里需要高等数学中求偏导的基础知识，计算过程就省略不写了。
回头整理梯度下降的算法，我的第一个机器学习算法就诞生啦！名为“批量梯度下降”：
